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常用分布

%
% \caption{离散分布}
% \centering%把表居中
% \begin{tabular} {ccccc}
% \toprule%第一道横线
% 名称 & 符号 & 概率 & 可加性 & 特征函数 \\ % \midrule%第二道横线
% 二项分布 & $B(n,p)$ & $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ & & \\ % 二点分布 ($0-1$ 分布) & $b(1,p)$ & $P(X=x)=p^x(1-p)^{1-x},\ x=0,1$ & & \\ % 泊松分布 &
% \bottomrule%第三道横线c
% \end{tabular}

\begin{table}[H]
\renewcommand{\arraystretch}{3}
\resizebox{16cm}{!}{
\begin{tabular}{cccc}
\toprule%第一道横线
分布 & 分布列 $p_k$ 或分布密度 $p(x)$ & 期望 & 方差 \\ \midrule%第二道横线
0－1 分布 & $p_k=p^k(1-p)^{1-k}, \quad k=0,1$ & $p$ & $p(1-p)$ \\ $
\begin{gathered}
\text { 二项分布 } \\ b(n, p)
\end{gathered}
$ & $P_k=\dps{\binom{n}{k}} p^k(1-p)^{n-k}, \quad k=0,1, \cdots, n$ & $n p$ & $n p(1-p)$ \\ $
\begin{gathered}
\text { 泊松分布 } \\ P(\lambda)
\end{gathered}
$ & $p_k=\dfrac{\lambda^k}{k!} \mathrm{e}^{-\lambda}, \quad k=0,1, \cdots$ & $\lambda$ & $\lambda$ \\ $
\begin{gathered}
\text { 超几何分布 } \\ h(n, N, M)
\end{gathered}
$& $p_k=\dfrac{\Dps\binom{M}{k}\Dps\binom{N-M}{n-k}}{\Dps\binom{N}{n}}, \quad \begin{aligned}
& k=0,1, \cdots, r, \\ & r=\min {M, n}
\end{aligned}
$ & $n \dfrac{M}{N}$ & $\dfrac{n M(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)}$ \\ $
\begin{gathered}
\text { 几何分布 } \\ G e(p)
\end{gathered}
$ & $p_k=(1-p)^{k-1} p, \quad k=1,2, \cdots$ & $\dfrac{1}{p}$ & $\dfrac{1-p}{p^2}$ \\ $
\begin{gathered}
\text { 负二项分布 } \mathbb{N} b(r, p)
\end{gathered}
$

 & $p_k=\Dps\binom{k-1}{r-1}(1-p)^{k-1} p^{\prime}, \quad k=r, r+1, \cdots$ & $\dfrac{r}{p}$ & $\dfrac{r(1-p)}{p^2}$ \\
$
\begin{gathered}
    \text { 正态分布 } \\
    N\left(\mu, \sigma^2\right)
\end{gathered}
$& $p(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left\lbrace-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\rbrace$ & $\mu$ & $\sigma^2$ \\
$
\begin{gathered}
    \text { 均匀分布 } \\
    U(a, b)
\end{gathered}
$ & $p(x)=\dfrac{1}{b-a}, \quad a<x<b$ & $\dfrac{a+b}{2}$ & $\dfrac{(b-a)^2}{12}$ \\


$
\begin{gathered}
    \text { 指数分布 } \\
    \operatorname{Exp}(\lambda)
\end{gathered}
$
& $p(x)=\lambda \mathrm{e}^{-\lambda x}, \quad x \geqslant 0$ & $\dfrac{1}{\lambda}$ & $\dfrac{1}{\lambda^2}$ \\
$
\begin{gathered}
    \text { 伽马分布 } \\
    Ga(\alpha, \lambda)
\end{gathered}
$
& $p(x)=\dfrac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} \mathrm{e}^{-\lambda x}, \quad x \geqslant 0$ & $\dfrac{\alpha}{\lambda}$ & $\dfrac{\alpha}{\lambda^2}$ \\
$\chi^2(n)$ 分布 & $p(x)=\dfrac{x^{n / 2-1} \mathrm{e}^{-x / 2}}{\Gamma(n / 2) 2^{n / 2}}, \quad x \geqslant 0$ & $n$ & $2 n$ \\
$
\begin{gathered}
    \text { 贝塔分布 } \\
    Be(a, b)
\end{gathered}
$
& $p(x)=\dfrac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} x^{a-1}(1-x)^{b-1}, \quad 0<x<1$ & $\dfrac{a}{a+b}$ & $\dfrac{a b}{(a+b)^2(a+b+1)}$ \\
$
\begin{gathered}
    \text { 对数正态分布 } \\
    LN\left(\mu, \sigma^2\right)
\end{gathered}
$
& $p(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma x} \exp \left\lbrace -\dfrac{(\ln x-\mu)^2}{2 \sigma^2}\right\rbrace , x>0$ & $\mathrm{e}^{\mu+\sigma^2/2}$ & $\mathrm{e}^{2\mu+\sigma^2}\left(\mathrm{e}^{\sigma^2}-1\right)$ \\
$
\begin{gathered}
    \text { 柯西分布 } \\
    \operatorname{Cau}(\mu, \lambda)
\end{gathered}
$
 & $p(x)=\dfrac{1}{\pi} \dfrac{\lambda}{\lambda^2+(x-\mu)^2},-\infty<x<\infty$ & 不存在 & 不存在 \\
 韦布尔分布 & $
 \begin{gathered}
    p(x)=F^{\prime}(x),\\
     F(x)=1-\exp \left\lbrace -\left(\dfrac{x}{\eta}\right)^m\right\rbrace , x>0
 \end{gathered}$ & $\eta \Gamma\left(1+\dfrac{1}{m}\right)$ & $
\begin{gathered}
    \eta^2\left[\Gamma\left(1+\dfrac{2}{m}\right)-\right. \\
    \left.\Gamma^2\left(1+\dfrac{1}{m}\right)\right]
\end{gathered}
$ \\
\bottomrule%第三道横线c

\end{tabular}
}
\end{table}

\[\begin{table}[H] \renewcommand{\arraystretch}{3} \resizebox{16cm}{!}{ \begin{tabular}{ccc} \toprule 分布 & 分布列 $p_k$ 或分布密度 $p(x)$ & 特征函数 $\varphi(t)$ \\ \midrule 单点分布 & $P(X=a)=1$. & $\mathrm{e}^{\text{i} ta}$ \\ 0－1 分布 & $p_k=p^k q^{1-k}, q=1-p, k=0,1$. & $p \mathrm{e}^{\text{i} t}+q$ \\ $ \begin{gathered} \text { 二项分布 } \\ b(n, p) \end{gathered} $ & $p_k=\Dps\binom{n}{k} p^k q^{n-k}, \quad k=0,1, \cdots, n$. & $\left(p \mathrm{e}^{\text{i} t}+q\right)^n$ \\ 泊松分布 $ P(\lambda) $ & $ p_k=\dfrac{\lambda^k}{k!} \mathrm{e}^{-\lambda}, \quad k=0,1, \cdots . $ & $\mathrm{e}^{\lambda\left(\mathrm{e}^{\text{i} t}-1\right)}$ \\ 几何分布 $G e(p)$ & $p_k=p q^{k-1}, k=1,2, \cdots$. & $p /\left(1-q \mathrm{e}^{\text { i}t}\right)$ \\ 负二项分布 $N b(r, p)$ & $p_k=\binom{k-1}{r-1} p^{\prime} q^{k-r}, \quad k=r, r+1, \cdots$. & $\left(\dfrac{p}{1-q e^{\text{i} t}}\right)^{\prime}$ \\ 均匀分布 $ U(a, b) $ & $p(x)=\dfrac{1}{b-a}, \quad a<x<b$. & $\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}bt}-\mathrm{e}^{\mathrm{i}at}}{\mathrm{i}t(b-a)}$ \\ 正态分布 $ N\left(\mu, \sigma^2\right) $ & $ p(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp \left\lbrace -\dfrac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}\right\rbrace . $ & $\exp \left(\text{i} \mu t-\dfrac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$ \\ 指数分布 $ \operatorname{Exp}(\lambda) $ & $p(x)=\lambda \mathrm{e}^{-\lambda x}, \quad x \geqslant 0$. & $\left(1-\dfrac{\mathrm{i}t}{\lambda}\right)^{-1}$ \\ 伽马分布 $ G a(\alpha, \lambda) $ & $ p(x)=\dfrac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} \mathrm{e}^{-\lambda x}, \quad x \geqslant 0 . $ & $\left(1-\dfrac{\text{i} t}{\lambda}\right)^{-\alpha}$ \\ $\chi^2(n)$ 分布 & $p(x)=\dfrac{x^{n / 2-1} \mathrm{e}^{-x / 2}}{\Gamma(n / 2) 2^{n / 2}}, \quad x \geqslant 0$. & $(1-2 \text{i} t)^{-n / 2}$ \\ 贝塔分布 $ B e(a, b) $ & $ p(x)=\dfrac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} x^{a-1}(1-x)^{b-1}, \quad 0<x<1 $ & $ \dfrac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{(\mathrm{i}t)^k \Gamma(a+k)}{k!\Gamma(a+b+k) \Gamma(k+1)} $ \\ 柯西分布 $ \operatorname{Cau}(0,1) $ & $p(x)=\dfrac{1}{\pi\left(1+x^2\right)}, \quad-\infty<x<\infty$ & $e^{-|t|}$ \\ \bottomrule \end{tabular} } \end{table}\]

常用分布

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